📈 二次方程求解
ax² + bx + c = 0 · 判别式 · 实根/复根
ax² + bx + c = 0 · 判别式 · 实根/复根
对于ax²+bx+c=0(a≠0)，求根公式：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。其中Δ=b²-4ac称为判别式。Δ>0有两个不等实根，Δ=0有一个重根，Δ<0有一对共轭复根。
Δ>0：两个不等实根；Δ=0：一个实根（重根）；Δ<0：两个共轭复根。判别式帮助判断方程根的性质而不必求解。
抛物线运动（投球轨迹计算）、面积优化（矩形面积最大问题）、经济学中的利润最大化、工程设计中的曲线拟合等。
若方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。韦达定理能不解方程直接得到根与系数的关系，常用于检验和构造方程。
Δ<0时没有实数根，但有一对共轭复根：x=(-b±i√|Δ|)/2a。比如x²+1=0的根是±i，其中i=√-1。
不能。a=0时方程退化为一次方程bx+c=0，只有一个根x=-c/b。此时使用二次求根公式会因除零而失效，需先判断a是否为0。
在复数范围内，n次方程恒有n个根（代数学基本定理）。二次方程在复数范围内恒有两个根，只是Δ<0时为两个共轭复根；Δ=0时两个根相等（重根）。
抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数就看Δ：Δ>0有两个交点，Δ=0有一个切点，Δ<0没有交点。这是判别式最直观的几何意义。
二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线。判别式Δ直接告诉我们这条抛物线与x轴（即y=0）有几个交点：Δ>0两个、Δ=0一个、Δ<0零个。
a的符号决定开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下；抛物线的顶点横坐标为-b/(2a)。
| 判别式Δ | Δ>0 | Δ=0 | Δ<0 |
|---|---|---|---|
| 根的个数 | 两个不等实根 | 一个重根 | 一对共轭复根 |
| 与x轴交点 | 2个 | 1个(切点) | 0个 |
| 示例 | x²-5x+6=0 | x²-4x+4=0 | x²+x+1=0 |
很多实际问题归结为二次方程：抛射体的飞行轨迹、最大利润点、最优面积、投资回收期等。判断根是否存在（Δ是否≥0）往往比具体求根更重要。
比如判断一个矩形能否在给定周长下取得目标面积，就看相应的二次方程判别式是否非负。
| 方程 | 判别式 | 两根 |
|---|---|---|
| x²-3x+2=0 | 1 | 1, 2 |
| x²-7x+12=0 | 1 | 3, 4 |
| x²-2x-8=0 | 36 | -2, 4 |
| x²+6x+9=0 | 0 | -3(重根) |
| x²+2x+5=0 | -16 | -1±2i |
| Δ取值 | 根类型 | 根的表示 |
|---|---|---|
| Δ>0 | 两个不等实根 | x₁≠x₂，均为实数 |
| Δ=0 | 一个重根 | x₁=x₂=-b/2a |
| Δ<0 | 一对共轭复根 | x=(-b±i√|Δ|)/2a |
1. 输入二次项系数a、一次项系数b、常数项c。
2. 点击"求解"查看根和完整计算步骤。
3. 支持整数、小数和科学计数法输入。