求第三边 · 验证直角三角形 · 常见勾股数
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。公式：a²+b²=c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
勾股数是满足勾股定理的三个正整数。常见的如(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)、(8,15,17)等。
不是，已知斜边和一条直角边，也可以求另一条直角边：a=√(c²-b²)，b=√(c²-a²)。本工具支持求解任意未知边。
如果一个三角形三边满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角是直角。用它可以判断一个三角形是否为直角三角形。
是的，勾股定理只适用于直角三角形。对非直角三角形，要用余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC来求边。
任取正整数m>n，令a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²，得到的(a,b,c)就是一组勾股数。如m=2,n=1得(3,4,5)。
不一定。比如斜边5、直角边4，另一条直角边是3（勾股数）；但斜边5、直角边2，另一条是√21≈4.58，不是整数。
在建筑中检查墙角是否直角、测量不可直接到达的距离、导航计算直线距离、工程设计等都离不开勾股定理。
勾股定理是数学中被证明次数最多的定理之一，据说有数百种证法。最直观的是面积法：用四个同样的直角三角形拼成一个大正方形，比较面积即可推出a²+b²=c²。
中国古代数学家赵爽用"弦图"（四个直角三角形拼成正方形）证明了勾股定理，比西方毕达哥拉斯学派更早提出"勾三股四弦五"的思想。
给定正整数m>n，公式a=m²-n²、b=2mn、c=m²+n²总能生成一组勾股数。当m、n互质且一奇一偶时，得到的是"本原勾股数"（三数互质），如(3,4,5)。
本原勾股数乘以同一个整数k，得到的是同比例扩大的一组勾股数，如(3,4,5)×2=(6,8,10)。
余弦定理c²=a²+b²-2ab·cosC是更一般的公式。当C=90°时cosC=0，余弦定理就退化为勾股定理。所以勾股定理是余弦定理在直角时的特例。
理解这一点就能明白：勾股定理只在直角三角形成立，而余弦定理对任意三角形都成立。
| 直角边a | 直角边b | 斜边c | 性质 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 最经典 |
| 5 | 12 | 13 | 本原勾股数 |
| 6 | 8 | 10 | 3-4-5的2倍 |
| 7 | 24 | 25 | 本原勾股数 |
| 8 | 15 | 17 | 本原勾股数 |
| 9 | 12 | 15 | 3-4-5的3倍 |
| 20 | 21 | 29 | 本原勾股数 |
| 角度组合 | 三边比(约) | 说明 |
|---|---|---|
| 30°-60°-90° | 1 : √3 : 2 | 短直角边:长直角边:斜边 |
| 45°-45°-90° | 1 : 1 : √2 | 等腰直角三角形 |
| 37°-53°-90° | 3 : 4 : 5 | 常见近似 |
1. 在三个输入框中，留空要计算的边。
2. 点击"计算"查看结果。
3. 也可以输入三边，点击"验证"看是否为直角三角形。